2.7 Propiedades de las Determinantes.

1.- |At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. 




2.-|A|=0 Si: Posee dos líneas iguales




Todos los elementos de una línea son nulos.



 Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.



 F3 = F1 + F2 

3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal




4.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.




5.-Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

  
 


6.-Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.




7.-Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.




8.-|A•B| =|A|•|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.



FUENTE: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/27-propiedades-de-los-determinantes.html

2.6 Definición determinante de una matriz.

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por eso, se define primero el determinante de matrices pequeñas, y después métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. 

En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. 


• El determinante de una matriz es un número.
 • Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. 

• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. 
Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

CÁLCULO DE UNA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES. 

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).




Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:



Esto es fácil probarlo ya que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).



MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA  MATRIZ INVERSA.

El método de Gauss - Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.




Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.





FUENTE: https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/unidad-2---matrices-y-determinantes/2-5---calculo-de-la-inversa-de-una-matriz

2.4 Transformaciones elementales por región. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

Lo que se pretende con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. 

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.


MATRIZ ESCALONADA: Es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (si existen) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.


DEFINICIÓN DE RANGO PARA UNA MATRIZ CUALQUIERA NO ESCALONADA: La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las transformaciones elementales por filas de A son tres:

-Intercambiar la posición de dos filas.

-Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

-Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. 

Nota: Podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

TEOREMA:
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Observa que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.



El teorema anterior nos permite hacer una definición importante: 

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

2.3 Clasificación de las Matrices.

Triangular superior: 

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Triangular inferior:

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Diagonal:

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Escalar:

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Identidad:

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Potencia:

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.

Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A

Se conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE Õ

A0 = I

Traspuesta:

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At

Simétrica:

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Antisimetrica:

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Compleja:

Sus elementos son números complejos aij e ¬

Conjugada:

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).

Hermitiana o hermitica:

Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

Antihermitiana:

una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A

o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.

Ortogonal:

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

FUENTE: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/23-clasificacion-de-las-matrices.html

2.2 Operaciones con Matrices.

Sumas y Restas.

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

 



Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:












FUENTE: https://sites.google.com/site/tecalgebralineal/unidad-2---matrices-y-determinantes/2-2---operaciones-con-matrices

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Matriz: 

Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas.

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m x n. 

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ... 

Ejemplo: 

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

Según el aspecto que tengan las matrices, éstas pueden clasificarse en: 

-Matrices cuadradas: Son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. 

Ejemplo:

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. 

-Matriz Identidad: Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, --- (ann). 

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

-Matrices Triangulares: Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero.

  

  son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

-Matrices Diagonales: Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo, 

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

-Traspuesta de una matriz: La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de 

-Matrices Simétricas: Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A. 

Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

Se puede observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

-Matrices ortogonales: Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

     Si A es ortogonal, entonces:   

-Matrices normales: Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo. 

-Matriz de orden (m,n)

Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.

-Subíndices

Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna.

FUENTE: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/21-definicion-de-matriz-notacion-y.html