Algebraic Trick.

lunes, 7 de diciembre de 2015

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales:

♣Gauss.

♣Gauss Jordán.

♣Determinantes o Regla de Cramer.

♣Adjunta de una matriz.

♣Sustitución.

♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de Gauss:

Este método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente sencilla como para poder resolver el sistema de ecuaciones a simple vista.

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

PASO 5

PASO 6

♦Matriz Triangular Inferior (Matriz aumentada)

En la última etapa del ejemplo anterior se obtuvo la matriz aumentada. Después de la cual, fue fácil obtener la solución
X = -23.8, Y = 32.6, Z = -7.8 para el sistema original de ecuaciones. El sistema de ecuaciones correspondientes es:

X + 2Y + 3Z = 18 Y + 2Z = 17 Z = -7.8

Sustituimos las ecuaciones y la solución Z = -7.8, Y = 32.6, X = -23.8 se hace obvia examinando la raíz aumentada.

♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método De Gauss-Jordán:

Se definió un poco la forma de solución de un sistema de ecuaciones lineales una vez que su matriz aumentada tiene la forma escalonada reducida. Ahora se dará un procedimiento esquemático, conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede ser empleado para llevar cualquier matriz a la forma escalonada reducida.

PASO 1

PASO 2

PASO 3

El sistema de ecuaciones correspondientes es:

X = -23.8 Y = 32.6 Z = -7.8

♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de determinantes o regla de cramer:

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Representar las ecuaciones en matrices

2. Calcular la determinante de la matriz A

3. Crear las matrices Δ1, Δ2 y Δ3 y calcular sus determinantes

4. Calculamos X, Y y Z

X = |Δ1|/|A| = -238/10 = -23.8
Y = |Δ2|/|A| = 326/10 = 32.6
Z = |Δ3|/|A| = -78/10 = -7.8

♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Metodo De La Inversa

Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Crámer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo).

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa son los siguientes:

1. Calcular la inversa de la matriz A:

2.- Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B

X = 18(-31/10) + 20(17/10) + 10(-1/5) = -23.8

Y = 18(37/10) + 20(-19/10) + 10(2/5) = 32.6

Z = 18(-11/10) + 20(7/10) + 10(-1/5) = -7.8

♦Método por sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita ´y´ por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita ´y´ en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la ´x´.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

♦Matriz Inversa:

Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad. El inverso de un cuadrado n x n matriz, es otro n x n matriz denotado por A-1 :

Donde es la n x n matriz identidad. Es decir, multiplicando su inversa una matriz produce una matriz de identidad. No todas las matrices tiene una matriz inversa. Si el determinante de la matriz es cero, entonces no tendrá una inversa y la matriz se dice que es singular. Sólo no singular matrices tienen inversas.

Fórmula para Inversa nxn matriz inverza:

Se puede encontrar la inversa de una matriz nxn general utilizando la siguiente ecuación

FUENTE: https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-3---sistema-de-ecuaciones-lineales/metodos-de-solucion-de-un-sistema-de-ecuaciones-lineales

3.3 Interpretación Geométrica de las soluciones.

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:

♣Un punto único. Sistema compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P.

♣Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en r.

♣Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

♣Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en:

Incompatibles: si no tienen solución.
Compatibles: si tienen al menos una solución.

A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en función del número de soluciones, en:

o Determinados: si tienen una única solución.

o Indeterminados: si tienen más de una, en cuyo caso tendrán infinitas soluciones.

Notemos que los sistemas homogéneos tienen siempre, al menos, la solución (0, 0,… ,0) que recibe el nombre de solución trivial, por ello siempre son compatibles.

El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en reemplazar el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver.

Por lo general, este nuevo sistema se obtiene en una serie de etapas, aplicando los siguientes tres tipos de operaciones.

◘Sistemas con una solución:
Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema

◘Sistemas sin solución:
Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución.

◘Sistemas con infinitas soluciones:
Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución.

Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:

♣Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales.

♣Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son.

♣Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra.

TIPOS DE SOLUCIÓN:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado.
En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

FUENTE: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/32-clasificacion-de-los-sistemas-de.html

https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-3---sistema-de-ecuaciones-lineales/3-2-clasificacion-de-los-s-e-l-y-tipos-de-solucion

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Es un conjunto finito de ecuaciones lineales de las variables
X1, X2,. . . . . . . . . Xn

Por ejemplo un, sistema general de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas se escribe así:

Un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede abreviar escribiendo únicamente el arreglo rectangular de números:

Esto se conoce como Matriz Aumentada del sistema. (El término matriz se emplea en matemáticas para denotar un arreglo rectangular de números, las matrices aparecen en varios contextos).

♣Coeficientes: aij para i = 1, 2, ....., m j = 1, 2, ..... n

♣Términos independientes: bi para i = 1, 2, ....., m

♣ Incógnitas del sistema: x1, x2,.... xn

Diremos que un conjunto de n números ordenados(

) es una solución del sistema si satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

FUENTE: https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-3---sistema-de-ecuaciones-lineales/definicion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

Las matrices son utilizadas en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasiﬁcar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos ﬁjamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por lineas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos.

Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una ﬂecha.

Estos tipos de grafo pueden verse en la ﬁgura:

Relacionadas con los grafos se pueden deﬁnir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos ﬁjaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:

un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la ﬁla i hasta el punto de la columna j mediante una linea que los una directamente.

un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una linea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la ﬁgura anterior será:

FUENTE: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/29-aplicacion-de-matrices-y.html

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces

Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz identidad:

Si AB=I, entonces B=A-1. Así, (1/detA)adjA=A-1