El pato Donald en el país de las matemáticas.

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo


Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:


Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por :


que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 


Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Y así de esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc. 

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:



Por: http://itsavbasicas.blogspot.mx/

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracciones de raices de un número complejo.

La formula  Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo. 

Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Ejemplo. Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°). 

Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.

Extracción de las raices de un número complejo:

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga: 

 

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de
Z. Esto lo denotamos por: 

En los números reales, todos los números poseen una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces . Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues: 

Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. 

Por: http://algebralinealichan.blogspot.mx/

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial:

La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ

que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar  z = r(cos θ + i sen θ),   la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ

Por: https://sites.google.com

1.3 Potencias de "i", módulo o valor absoluto de un número complejo.

Una teoría general, que trabajó detrás de esto estableció, que ningún número puede continuar negativo después haberse elevado al cuadrado. Sin embargo, con el descubrimiento de los números complejos, este estudio se detuvo completamente. Ahora es posible obtener la raíz cuadrada de números negativos y, sin embargo esta es seguida de un símbolo ‘i’. Esta “i” representa el término imaginario, porque tal número no existe en la realidad. 

La potencia de los números imaginarios es simplemente una forma única de la operación de multiplicación.

Potencias de i.

Por: http://es.scribd.com/

Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria “i” cogemos su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre que va a se menor que 4 , será el valor que buscamos.

Ejemplo:  i⁴³ = i^4.10+3 = (i⁴)¹⁰     i³ = -i

Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto.



Por: http://es.scribd.com/

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Definición.

Los números complejos (z) se pueden definir como pares ordenados  z = (x, y)   de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.

Origen.

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

por: sites.google.com                                                                                                          

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Existen una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos. 

Suma: La operación de sumar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:

 (x + yi) + (c + di) = (x + c) + (y + d)i 

Es posible observar que las partes correspondientes de los números reales se suman juntos y que se hace lo mismo con la parte que es imaginaria.

A continuación mostraremos un ejemplo:

Debemos expresar (1 + 8i) + (4 + 5i) en forma compleja.

Entonces, sumando la parte real y la parte imaginaria por separado, obtenemos:

(1 + 4) + (8 + 5) i    = 5 + 13i



Resta: La operación de restar dos números complejos x + yi y c + di puede expresarse como:

(x + yi) - (c + di) = (x + c) - (y + d)i

Ejemplo: 
Se debe expresar (1+ 8i) - (−4 - 5i) en forma compleja.

Entonces, restando la parte real y la parte imaginaria separadamente, obtenemos:

= (1 - 4) - (8 - 5)i  = −3 – 3i




Multiplicación: La operación de Multiplicar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:

(x + y i) (c + d i) = (x c - y d) + (x + d yc) i

Sin embargo, esta multiplicación se puede realizar aplicando las propiedades básicas de la Multiplicación de los Números Reales, y recordando la regla básica de los números complejos, es decir, i2 = −1.

Veamos un ejemplo.

Debemos expresar (2 + 3i) (2 - 2i), en forma compleja.

Usando la propiedad distributiva, obtenemos:

= (2 + 3i) (2 - 2i) = (2 + 3i) 2 + (2 + 3i) (- 2i) = 4 + 6i – 4i - 6i2

   Agrupando los mismos términos y aplicando la propiedad i2 = −1 obtenemos:

= 4 + 6i – 4i + 6  = 10 + 2i

División:   La operación de Dividir dos números complejos (8 + 4 i) y (1 - i) puede expresarse como:

(8 + 4 i) / (1 - i)

Primero, multiplicando el numerador y el denominador con el conjugado del denominador de la expresión anterior, obtenemos:

[(8 + 4 i) (1 + i)]

Agrupando y multiplicando los términos semejantes,

[(8 + 4 i) (1 + i)] / [(1 - i) (1 + i)] =

[8 + 4 i + 8 i + 4 i 2] / [1 - i + i - i 2] = (4 + 12 i) / (2) = 2 + 6 i

Por: mitecnológico.com