Reflexión sobre el eje x En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R2 en R2 que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector En una gráfica, vemos la situación como sigue: En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue: Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que: Ejemplo dilatación o expansión Una dilatación es una transformación que incrementa distancias. Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2 Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1) Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1) Ejemplo contracción Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2 Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal. Rotación por un ángulo Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R2 en R2 que gira cada vector un angulo , para obtener un vector En una gráfica, vemos la situación como sigue: Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que: Distribuyendo y usando el hecho de que y tenemos que: Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación tal que Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/54-aplicacion-de-las-transformaciones.html
Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. Teorema 1 Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, AT tal que Demostración Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. si Entonces De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas porque coinciden en los vectores básicos. Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.
En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales. Teorema 1. Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W. i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0) ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv. iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba. Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.
UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES. El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matematicas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar. Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x En R2 se define una función T mediante la formula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal de R2 en R2. Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.
Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean p1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades de manera similar r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades y r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades en general se ve que o Ap= r. Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación de matrices ordinaria. Como se verá , esta función es también una transformación lineal. Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la sección 1.7 se escribió un sistema de ecuaciones como
Ax=b
Donde A es una matriz de m*n, x R” y b R”. Se pidió encontrar x cuando A y b se conocían . No obstante, esta ecuación se puede ver de otra forma: suponga que A se conoce. Entonces la ecuación Ax=b “dice” : proporcione una x en R´´ y yo le daré una b en R´´´; es decir , A representa una función con dominio R´´ e imagen en R´´´. La función que se acaba de definir tiene las propiedades de que A ( si es un escalar y A(x + y) = Ax + Ay. Esta propiedad caracteriza las transformaciones lineales. Definición 1 transformación lineal. Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v V un vector único Tv W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar .
Conjunto ortonormal en Rn Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2) Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal. Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7) Ahora se presenta otra definición útil Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8) Nota. Si entonces v*v= Esto significa que (9) De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11) Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt: Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal. Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero. Paso 1. Elección del primer vector unitario Sea (12) Entonces De manera que |u|=1. Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u. Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este caso es la proyección de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura. Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2. Obsérve que como u es un vector unitario, para cualquier vector v. Sea (13) entonces de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra manera lo que contradice la independencia de v1 y v2. Paso 3. Elección de un segundo vector unitario. Sea (14) entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal. Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k<m) y que forman un conjunto ortonormal. Se mostrara como construir uk+1. Paso 4. Continuación del proceso Sea (15) entonces para i=1,2,…,k Pero Por lo tanto, Así, es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v´k+1≠0. Paso 5 Sea Entonces es claro que es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba. Nota. Como cada u es una combinación lineal de vectores v, gen es un subespacio de gen y como cada espacio tiene dimensión k, los espacio son iguales. FUENTE; http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/46-base-ortonormal-proceso-de.html
lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 
un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R2 en R2 que gira cada vector 
y tenemos que: 
tal que 
entonces v*v= 
Esto significa que (9)
una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.
es la ortogonal a v. en este caso es la 
proyección de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.
para cualquier vector v.
entonces 
de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra manera 
lo que contradice la independencia de v1 y v2.
entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.
entonces para i=1,2,…,k 
Por lo tanto, 
es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v´k+1≠0.
es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.
es un subespacio de gen 
y como cada espacio tiene dimensión k, los espacio son iguales.