4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores   .
 En R3 se escribieron los vectores en términos de  .  Ahora se generalizara esta idea.
BASE: Un conjunto finito de vectores es una base  para un espacio vectorial V si  

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.


En Rn se define 

Puesto que los vectores e, son las columnas de una matriz identidad (que tiene determinante 1), es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canonica para M22
Se vio que     generan a  

 , entonces es evidentemente que .  Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22.

TEOREMA: si   es una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares     tales que  .

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque     genera a V. Suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que  

Sea     dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)






FUENTE: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/44-base-y-dimension-de-un-espacio.html