2.4 Transformaciones elementales por región. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

Lo que se pretende con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. 

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.


MATRIZ ESCALONADA: Es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (si existen) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.


DEFINICIÓN DE RANGO PARA UNA MATRIZ CUALQUIERA NO ESCALONADA: La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las transformaciones elementales por filas de A son tres:

-Intercambiar la posición de dos filas.

-Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

-Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. 

Nota: Podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

TEOREMA:
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Observa que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.



El teorema anterior nos permite hacer una definición importante: 

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.