3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en:

  Incompatibles: si no tienen solución.
  Compatibles: si tienen al menos una solución.

   A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en función del número de soluciones, en:

o    Determinados: si tienen una única solución.

o    Indeterminados: si tienen más de una, en cuyo caso tendrán infinitas soluciones.

Notemos que los sistemas homogéneos tienen siempre, al menos, la solución (0, 0,… ,0) que recibe el nombre de solución trivial, por ello siempre son compatibles.


El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en reemplazar el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. 

Por lo general, este nuevo sistema se obtiene en una serie de etapas, aplicando los siguientes tres tipos de operaciones. 

◘Sistemas con una solución: 
Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema

◘Sistemas sin solución: 
Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución.

◘Sistemas con infinitas soluciones:
Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución.

Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:

♣Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales.

 

♣Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son.



♣Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra. 




TIPOS DE SOLUCIÓN:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado.
 En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. 

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:




En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.



El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.



Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

FUENTE: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/32-clasificacion-de-los-sistemas-de.html

https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-3---sistema-de-ecuaciones-lineales/3-2-clasificacion-de-los-s-e-l-y-tipos-de-solucion