Algebraic Trick.: 4.6 Base ortonormal, procesos de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Conjunto ortonormal en Rn

Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.
Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

Nota. Si

entonces v*v=

Esto significa que (9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt:

Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal.

Sea S=

una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Elección del primer vector unitario

Sea (12)

Entonces

De manera que |u|=1.

Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u.

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector

es la ortogonal a v. en este caso es la

proyección de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2. Obsérve que como u es un vector unitario,

para cualquier vector v.

Sea (13)

entonces

de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra manera

lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario.

Sea (14)

entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.
Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k<m) y que forman un conjunto ortonormal. Se mostrara como construir uk+1.

Paso 4. Continuación del proceso
Sea (15)

entonces para i=1,2,…,k

Pero

Por lo tanto,

Así,

es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v´k+1≠0.

Paso 5

Sea

Entonces es claro que

es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.
Nota. Como cada u es una combinación lineal de vectores v, gen