4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces



 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces



Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.

Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2

En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Complemento ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por