3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales:

♣Gauss.

♣Gauss Jordán.

♣Determinantes o Regla de Cramer.

♣Adjunta de una matriz.

♣Sustitución.

♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de Gauss: 

Este método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente sencilla como para poder resolver el sistema de ecuaciones a simple vista. 

PASO 1



PASO 2 


PASO 3



PASO 4



PASO 5



PASO 6



♦Matriz Triangular Inferior (Matriz aumentada)



En la última etapa del ejemplo anterior se obtuvo la matriz aumentada. Después de la cual, fue fácil obtener la solución 
X = -23.8, Y = 32.6, Z = -7.8 para el sistema original de ecuaciones. El sistema de ecuaciones correspondientes es:

 X + 2Y + 3Z = 18                       Y + 2Z = 17                    Z = -7.8

 Sustituimos las ecuaciones y la solución  Z = -7.8, Y = 32.6, X = -23.8 se hace obvia examinando la raíz aumentada.


♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método De Gauss-Jordán: 

 Se definió un poco la forma de solución de  un sistema de ecuaciones lineales una vez que su matriz aumentada tiene la forma escalonada reducida. Ahora se dará un procedimiento esquemático, conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede ser empleado para llevar cualquier matriz a la forma escalonada reducida.

  

PASO 1


PASO 2



PASO 3



El sistema de ecuaciones correspondientes es:

 X = -23.8                       Y = 32.6                    Z = -7.8


♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de determinantes o regla de cramer:

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:



1. Representar las ecuaciones en matrices

  

2. Calcular la determinante de la matriz A








 3. Crear las matrices Δ1, Δ2 y Δ3 y calcular sus determinantes 

                 

                

                 


                4. Calculamos X, Y y Z

X = |Δ1|/|A| = -238/10 = -23.8
Y = |Δ2|/|A| = 326/10 = 32.6
Z = |Δ3|/|A| = -78/10 = -7.8




♦Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Metodo De La Inversa

Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Crámer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo).


  

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa son los siguientes:

                1. Calcular la inversa de la matriz A:

                2.- Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B

X = 18(-31/10) + 20(17/10) + 10(-1/5) = -23.8

Y = 18(37/10) + 20(-19/10) + 10(2/5) = 32.6

Z = 18(-11/10) + 20(7/10) + 10(-1/5) = -7.8

♦Método por sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita ´y´ por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. 

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita ´y´ en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la  ´x´.

 

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

♦Matriz Inversa:

Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad. El inverso de un cuadrado  n x n matriz, es otro n x n matriz denotado por A-1  :

Donde es la n x n matriz identidad. Es decir, multiplicando su inversa una matriz produce una matriz de identidad. No todas las matrices tiene una matriz inversa. Si el determinante de la matriz es cero, entonces no tendrá una inversa y la matriz se dice que es singular. Sólo no singular matrices tienen inversas.

Fórmula para Inversa nxn matriz inverza:

Se puede encontrar la inversa de una matriz nxn general utilizando la siguiente ecuación

FUENTE: https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-3---sistema-de-ecuaciones-lineales/metodos-de-solucion-de-un-sistema-de-ecuaciones-lineales